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Wahrscheinlichkeit mit dem Baumdiagramm

Läuft ein Zufallsversuch in mehreren Stufen ab, zum Beispiel zweimal Ziehen aus einer Urne, hilft ein Baumdiagramm. Jeder Weg von oben nach unten heißt Pfad. An die Äste schreibst du die Wahrscheinlichkeiten.

Die Regeln

Pfadregel. Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades → multiplizieren.

Summenregel. Gehören mehrere Pfade zu einem Ereignis, addierst du ihre Wahrscheinlichkeiten.

Warum multiplizieren? Kommt beim ersten Zug in 35 der Fälle Rot und danach wieder in 35 der Fälle Rot, dann klappt beides nur in 35 von 35 der Fälle.

Beispiel 1. In einer Urne liegen 3 rote und 2 blaue Kugeln. Du ziehst zweimal mit Zurücklegen.

Gesucht: P(rot, rot).

Beispiel 2. Dieselbe Urne, aber du ziehst zweimal ohne Zurücklegen.

Gesucht: P(zwei gleiche Farben).

Ohne Zurücklegen liegt beim zweiten Zug eine Kugel weniger in der Urne. Der Nenner wird 4.

Beide Pfade gehören zum Ereignis, also addieren.

Übungsaufgaben

1. Eine Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist P(zweimal Kopf)?
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   Gesucht: P(Kopf, Kopf). Pfadregel.

   P(Kopf, Kopf) = 12 · 12 = 14 = 25 %
2. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist P(zweimal Sechs)?
   Lösung zeigen

   Gesucht: P(6, 6). Pfadregel.

   P(6, 6) = 16 · 16 = 136 ≈ 2,78 %
3. Eine Münze wird zweimal geworfen. Wie groß ist P(genau einmal Kopf)?
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   Gesucht: P(genau einmal Kopf). Zwei Pfade gehören dazu → (Kopf, Zahl) und (Zahl, Kopf).

   P(Kopf, Zahl) = 12 · 12 = 14

   P(Zahl, Kopf) = 12 · 12 = 14

   P(genau einmal Kopf) = 14 + 14 = 1242 = 12 = 50 %
4. In einer Urne liegen 4 rote und 1 weiße Kugel. Du ziehst zweimal ohne Zurücklegen. Wie groß ist P(beide rot)?
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   Gesucht: P(rot, rot). Ohne Zurücklegen, also beim zweiten Zug 3 rote von 4 Kugeln.

   P(rot, rot) = 45 · 34 = 312205 = 35 = 60 %
5. Ein Würfel wird zweimal geworfen. Wie groß ist P(mindestens eine Sechs)?
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   Gesucht: P(mindestens eine Sechs). Einfacher über das Gegenereignis „keine Sechs“.

   P(keine Sechs) = 56 · 56 = 2536

   P(mindestens eine Sechs) = 1 − 2536

   P(mindestens eine Sechs) = 3636 − 2536 = 1136 ≈ 30,56 %

Typische Fehler

• Entlang des Pfades addiert.
  Falsch 12 + 12 für zweimal Kopf.
  Richtig 12 · 12 = 14
• Ohne Zurücklegen den Nenner nicht geändert. Nach dem ersten Zug liegt eine Kugel weniger in der Urne.
• Einen Pfad vergessen. Bei „genau einmal Kopf“ gibt es zwei Pfade, (Kopf, Zahl) und (Zahl, Kopf).

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