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Exponentielles Wachstum

Bei linearem Wachstum kommt in jedem Schritt derselbe Betrag dazu. Bei exponentiellem Wachstum wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert. Darum wächst es am Anfang langsam und später sehr schnell.

Die Regel

• K₀ ist der Anfangswert.
• q ist der Wachstumsfaktor, n die Anzahl der Schritte (Jahre, Stunden, …).
• Zunahme um p % → q = 1 + p %. Beispiel → 4 % Zunahme gibt q = 1 + 0,04 = 1,04.
• Abnahme um p % → q = 1 − p %. Beispiel → 15 % Abnahme gibt q = 1 − 0,15 = 0,85.

Linear oder exponentiell? Bilde in der Tabelle die Differenzen und die Quotienten aufeinanderfolgender Werte. Sind die Differenzen gleich, ist es linear. Sind die Quotienten gleich, ist es exponentiell.

Beispiel 1. 500 € werden zu 4 % Zinsen angelegt, die Zinsen bleiben auf dem Konto.

Gesucht: Kapital nach 3 Jahren.

Beispiel 2. Ein Auto kostet 20 000 € und verliert jedes Jahr 15 % an Wert.

Gesucht: Wert nach 2 Jahren.

Übungsaufgaben

1. Gib den Wachstumsfaktor an → a) Zunahme um 5 %, b) Abnahme um 20 %.
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   Gesucht: Wachstumsfaktor q.

   a) q = 1 + 5 % = 1,05

   b) q = 1 − 20 % = 0,8
2. 200 Bakterien verdoppeln sich jede Stunde. Wie viele sind es nach 4 Stunden?
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   Gesucht: Anzahl nach 4 Stunden. Verdoppeln heißt q = 2.

   K₄ = 200 · 2⁴

   K₄ = 200 · 16 = 3200

   Nach 4 Stunden sind es 3200 Bakterien.

3. 1000 € werden 5 Jahre zu 2 % angelegt, die Zinsen bleiben auf dem Konto. Wie hoch ist das Kapital danach?
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   Gesucht: Kapital nach 5 Jahren. q = 1,02.

   K₅ = 1000 € · 1,02⁵

   K₅ = 1000 € · 1,1040808…

   K₅ ≈ 1104,08 €
4. Linear oder exponentiell? a) 3, 6, 12, 24 b) 3, 6, 9, 12
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   Gesucht: die Art des Wachstums.

   a) Quotienten

   63 = 2, 126 = 2, 2412 = 2

   Immer gleich, also exponentiell.

   b) Differenzen

   6 − 3 = 3, 9 − 6 = 3, 12 − 9 = 3

   Immer gleich, also linear.

5. Von 80 mg eines Medikaments baut der Körper jede Stunde 25 % ab. Wie viel ist nach 3 Stunden noch im Körper?
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   Gesucht: Menge nach 3 Stunden. q = 1 − 25 % = 0,75.

   K₃ = 80 mg · 0,75³

   K₃ = 80 mg · 0,421875

   K₃ = 33,75 mg

Typische Fehler

• Prozentsatz als Faktor genommen.
  Falsch q = 4 bei 4 % Zunahme
  Richtig q = 1,04
• Bei Abnahme addiert. 15 % Abnahme gibt q = 0,85, nicht 1,15.
• Linear gerechnet.
  Falsch 500 € + 3 · 20 € = 560 € Bei Zinseszins wird jedes Jahr mit 1,04 multipliziert, das ergibt 562,43 €.

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