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Lineare Funktionen: Steigung und Funktionsgleichung

Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. Ihre Gleichung hat immer die Form f(x) = mx + b. Wenn du weißt, was m und b bedeuten, kannst du jede Gerade lesen, zeichnen und aufstellen.

m und b

• m ist die Steigung. Gehst du 1 nach rechts, geht die Gerade um m nach oben (bei negativem m nach unten).
• b ist der y-Achsenabschnitt. Dort schneidet die Gerade die y-Achse, im Punkt (0 | b).

Steigung aus zwei Punkten

Beispiel. Die Gerade geht durch P(1 | 3) und Q(3 | 7).

Gesucht: Funktionsgleichung f(x) = mx + b.

Erst die Steigung.

Dann b. Setze P(1 | 3) in f(x) = 2x + b ein.

Übungsaufgaben

1. Gib Steigung und y-Achsenabschnitt von f(x) = 3x − 2 an.
   Lösung zeigen

   Gesucht: m und b. Ablesen an f(x) = mx + b.

   m = 3 und b = −2

   Die Gerade steigt um 3, wenn man 1 nach rechts geht, und schneidet die y-Achse bei −2.

2. Berechne die Steigung der Geraden durch A(0 | 1) und B(2 | 5).
   Lösung zeigen

   Gesucht: Steigung m.

   m = 5 − 12 − 0 = 42 = 2
3. Stelle die Gleichung der Geraden durch P(2 | 1) und Q(4 | −3) auf.
   Lösung zeigen

   Gesucht: f(x) = mx + b.

   m = −3 − 14 − 2 = −42 = −2

   P(2 | 1) einsetzen.

   1 = −2 · 2 + b

   1 = −4 + b | + 4

   b = 5

   f(x) = −2x + 5
4. Liegt der Punkt P(3 | 7) auf der Geraden f(x) = 2x + 1?
   Lösung zeigen

   Gesucht: Liegt P auf der Geraden? Punktprobe mit x = 3.

   f(3) = 2 · 3 + 1 = 7

   Das ist der y-Wert von P, also liegt P auf der Geraden.

5. Berechne die Nullstelle von f(x) = 2x − 6.
   Lösung zeigen

   Gesucht: Nullstelle, also f(x) = 0.

   2x − 6 = 0 | + 6

   2x = 6 | : 2

   x = 3

Typische Fehler

• x und y vertauscht.
  Falsch m = x₂ − x₁y₂ − y₁ Oben stehen immer die y-Werte.
• Vorzeichen verloren. Bei Q(4 | −3) ist y₂ − y₁ = −3 − 1 = −4, nicht 3 − 1 = 2. Das Minus von −3 gehört dazu.
• b mit der Nullstelle verwechselt. b ist der Schnitt mit der y-Achse, die Nullstelle der Schnitt mit der x-Achse.

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