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Potenzgesetze: Erklärung und Aufgaben

Eine Potenz ist eine Kurzschreibweise für das Multiplizieren gleicher Faktoren. Mit den Potenzgesetzen rechnest du mit Potenzen, ohne alles ausschreiben zu müssen.

Was ist eine Potenz?

aⁿ = a · a · … · a (n Faktoren). a heißt Basis, n heißt Exponent.

2⁴ = 2 · 2 · 2 · 2 = 16

Die Gesetze

Für a ≠ 0 und b ≠ 0 gilt:

GesetzRegelBeispiel
Gleiche Basis, multiplizierenaᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
Gleiche Basis, dividierenaᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿx⁵x² = x³
Gleicher Exponentaⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ2³ · 5³ = 10³ = 1000
Potenz einer Potenz(aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ(3²)³ = 3⁶ = 729
Exponent 0a⁰ = 17⁰ = 1
Negativer Exponenta⁻ⁿ = 1aⁿ2⁻³ = 12³ = 18

Warum gilt das erste Gesetz? Gesucht: 2³ · 2⁴ ausgeschrieben.

2³ · 2⁴ = (2 · 2 · 2) · (2 · 2 · 2 · 2) = 2⁷

Es sind 3 + 4 = 7 Faktoren.

Übungsaufgaben

  1. Berechne 5² · 5³.
    Lösung zeigen

    Gesucht: der Wert. Gleiche Basis, Exponenten addieren.

    5² · 5³ = 5²⁺³ = 5⁵ = 3125
  2. Vereinfache a⁸a³.
    Lösung zeigen

    Gesucht: einfachere Form. Gleiche Basis, Exponenten subtrahieren.

    a⁸a³ = a⁸⁻³ = a⁵
  3. Vereinfache (x³)⁴.
    Lösung zeigen

    Gesucht: einfachere Form. Potenz einer Potenz, Exponenten multiplizieren.

    (x³)⁴ = x³·⁴ = x¹²
  4. Schreibe 10⁻² als Bruch und als Dezimalzahl.
    Lösung zeigen

    Gesucht: Bruch und Dezimalzahl. Negativer Exponent.

    10⁻² = 110² = 1100 = 0,01
  5. Berechne geschickt 2⁵ · 5⁵.
    Lösung zeigen

    Gesucht: der Wert. Gleicher Exponent, Basen multiplizieren.

    2⁵ · 5⁵ = (2 · 5)⁵ = 10⁵ = 100 000
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