Mathebaustein › Parabeln › Nullstellen und pq-Formel

Nullstellen mit der pq-Formel berechnen

Mit der pq-Formel löst du jede quadratische Gleichung in Normalform. So findest du auch die Nullstellen einer Parabel, also die Stellen, an denen sie die x-Achse schneidet.

Die Regel

Die Gleichung muss in Normalform stehen

Vor dem x² steht also keine Zahl. Dann gilt:

Die Zahl unter der Wurzel entscheidet, wie viele Lösungen es gibt.

• Ist sie größer als 0, gibt es zwei Lösungen.
• Ist sie gleich 0, gibt es genau eine Lösung.
• Ist sie kleiner als 0, gibt es keine Lösung.

Steht vor dem x² eine Zahl (allgemeine Form ax² + bx + c = 0), dividierst du zuerst die ganze Gleichung durch a.

Beispiel 1. x² − 6x + 8 = 0

Gesucht: die Lösungen x₁ und x₂.

Probe mit x₁ = 4

Beispiel 2. 2x² + 4x − 6 = 0

Gesucht: die Lösungen x₁ und x₂.

Erst in Normalform bringen.

Übungsaufgaben

1. Löse x² + 2x − 15 = 0.
   Lösung zeigen

   Gesucht: x₁ und x₂. p = 2, q = −15, p2 = 1.

   x₁,₂ = −1 ± √1² − (−15)

   x₁,₂ = −1 ± √16

   x₁,₂ = −1 ± 4

   x₁ = 3 und x₂ = −5
2. Löse x² − 10x + 25 = 0.
   Lösung zeigen

   Gesucht: die Lösungen. p = −10, q = 25, p2 = −5.

   x₁,₂ = 5 ± √(−5)² − 25

   x₁,₂ = 5 ± √0

   x = 5

   Unter der Wurzel steht 0, es gibt genau eine Lösung.

3. Löse x² + 4x + 5 = 0.
   Lösung zeigen

   Gesucht: die Lösungen. p = 4, q = 5, p2 = 2.

   x₁,₂ = −2 ± √2² − 5

   Unter der Wurzel steht 2² − 5 = −1. Das ist kleiner als 0, also gibt es keine Lösung.

4. Löse 3x² − 12x + 9 = 0.
   Lösung zeigen

   Gesucht: x₁ und x₂. Erst in Normalform bringen.

   3x² − 12x + 9 = 0 | : 3

   x² − 4x + 3 = 0

   p = −4, q = 3, p2 = −2

   x₁,₂ = 2 ± √(−2)² − 3

   x₁,₂ = 2 ± √1

   x₁,₂ = 2 ± 1

   x₁ = 3 und x₂ = 1
5. Berechne die Nullstellen von f(x) = x² − x − 6.
   Lösung zeigen

   Gesucht: Nullstellen, also f(x) = 0.

   x² − x − 6 = 0

   p = −1, q = −6, p2 = −0,5

   x₁,₂ = 0,5 ± √(−0,5)² − (−6)

   x₁,₂ = 0,5 ± √0,25 + 6

   x₁,₂ = 0,5 ± √6,25

   x₁,₂ = 0,5 ± 2,5

   x₁ = 3 und x₂ = −2

   Die Nullstellen sind N₁(3 | 0) und N₂(−2 | 0).

Typische Fehler

• Nicht in Normalform. Bei 2x² + 4x − 6 = 0 ist p nicht 4. Erst durch 2 dividieren, dann ist p = 2.
• Vorzeichen von p vergessen. Vor der Formel steht −p2. Bei p = −6 ist das +3.
• Minus vor q übersehen. Ist q negativ, wird unter der Wurzel addiert → 1 − (−3) = 1 + 3.

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