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Satz des Pythagoras: Erklärung und Aufgaben

Mit dem Satz des Pythagoras berechnest du in einem rechtwinkligen Dreieck eine fehlende Seite, wenn du die beiden anderen kennst. Er gilt nur, wenn das Dreieck einen rechten Winkel hat.

Der Satz

Die längste Seite liegt dem rechten Winkel gegenüber und heißt Hypotenuse c. Die beiden kürzeren Seiten am rechten Winkel heißen Katheten a und b.

a² + b² = c²
abca²b²c²

Beispiel Hypotenuse. Die Katheten sind a = 3 cm und b = 4 cm lang.

Gesucht: Hypotenuse c.

a² + b² = c²
(3 cm)² + (4 cm)² = c²
9 cm² + 16 cm² = c²
25 cm² = c² | √
c = 5 cm

Beispiel Kathete. Die Hypotenuse ist c = 13 cm lang, eine Kathete a = 5 cm.

Gesucht: Kathete b.

a² + b² = c²
(5 cm)² + b² = (13 cm)²
25 cm² + b² = 169 cm² | − 25 cm²
b² = 144 cm² | √
b = 12 cm

Die Umkehrung

Gilt für drei Seiten a² + b² = c², dann ist das Dreieck rechtwinklig. So prüfst du, ob ein Winkel wirklich 90° hat.

Übungsaufgaben

  1. Die Katheten sind 6 cm und 8 cm lang. Berechne die Hypotenuse.
    Lösung zeigen

    Gesucht: Hypotenuse c.

    a² + b² = c²
    (6 cm)² + (8 cm)² = c²
    36 cm² + 64 cm² = c²
    100 cm² = c² | √
    c = 10 cm
  2. Die Hypotenuse ist 10 cm lang, eine Kathete 6 cm. Berechne die andere Kathete.
    Lösung zeigen

    Gesucht: Kathete b.

    a² + b² = c²
    (6 cm)² + b² = (10 cm)²
    36 cm² + b² = 100 cm² | − 36 cm²
    b² = 64 cm² | √
    b = 8 cm
  3. Ist ein Dreieck mit den Seiten 7 cm, 24 cm und 25 cm rechtwinklig?
    Lösung zeigen

    Gesucht: Ist a² + b² = c²? Die längste Seite ist c = 25 cm.

    (7 cm)² + (24 cm)² = 49 cm² + 576 cm² = 625 cm²
    (25 cm)² = 625 cm²

    Beide Seiten sind gleich, also ist das Dreieck rechtwinklig.

  4. Eine 5 m lange Leiter steht 1,4 m von der Wand entfernt. Wie hoch reicht sie?
    Lösung zeigen

    Gesucht: Höhe h. Die Leiter ist die Hypotenuse, h und der Abstand 1,4 m sind die Katheten.

    a² + h² = c²
    (1,4 m)² + h² = (5 m)²
    1,96 m² + h² = 25 m² | − 1,96 m²
    h² = 23,04 m² | √
    h = 4,8 m
  5. Ein Rechteck ist 9 cm breit und 12 cm lang. Wie lang ist die Diagonale?
    Lösung zeigen

    Gesucht: Diagonale d. Sie ist die Hypotenuse, die Seiten des Rechtecks sind die Katheten.

    a² + b² = d²
    (9 cm)² + (12 cm)² = d²
    81 cm² + 144 cm² = d²
    225 cm² = d² | √
    d = 15 cm
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