Mathebaustein

Mathebaustein › Trigonometrie › Sinus, Kosinus, Tangens

Sinus, Kosinus, Tangens im rechtwinkligen Dreieck

Mit Sinus, Kosinus und Tangens berechnest du in einem rechtwinkligen Dreieck Seiten und Winkel. Du brauchst dafür einen Winkel und eine Seite oder zwei Seiten.

Die Seiten benennen

Von einem Winkel α aus gesehen gilt:

αAnkatheteGegenkatheteHypotenuse

Die drei Verhältnisse

sin α = GegenkatheteHypotenuse
cos α = AnkatheteHypotenuse
tan α = GegenkatheteAnkathete

Merkhilfe GAGA HHAG („Gaga Hühnerhof AG“). Oben stehen G, A, G, unten H, H, A.

sin αGH
cos αAH
tan αGA

sin → GH · cos → AH · tan → GA

Der Taschenrechner muss auf DEG (Grad) stehen.

So gehst du vor

1. Wo stehen wir? An welchem Winkel?

2. Gesucht: Welche Seite oder welcher Winkel?

3. Was haben wir? Welche Seite ist gegeben?

4. GAGA HHAG: Welche Funktion verbindet Gesuchtes und Gegebenes?

5. Ausrechnen, Schritt für Schritt.

Beispiel Seite. Hypotenuse 10 cm, α = 30°.

1. Wo stehen wir? Am Winkel α = 30°.

2. Gesucht: Gegenkathete G.

3. Was haben wir? Hypotenuse H = 10 cm.

4. Gegenüber von α liegt die gesuchte Seite, also ist sie die Gegenkathete G. Gegeben ist die Hypotenuse H. G und H gehören zu sin.

5. sin 30° = G10 cm | · 10 cm
G = 10 cm · sin 30°
G = 10 cm · 0,5
G = 5 cm

Beispiel Winkel. Gegenkathete 3 cm, Ankathete 4 cm.

1. Wo stehen wir? Am gesuchten Winkel α.

2. Gesucht: Winkel α.

3. Was haben wir?

G = 3 cm, A = 4 cm

4. Gegenüber von α liegt die Seite mit 3 cm, also ist sie die Gegenkathete G. Die Seite mit 4 cm liegt an α an, sie ist die Ankathete A. G und A gehören zu tan.

5. tan α = 3 cm4 cm = 0,75 | tan⁻¹
α ≈ 36,87°

Übungsaufgaben

  1. Hypotenuse 8 cm, α = 30°. Berechne die Gegenkathete.
    Lösung zeigen

    Wir stehen bei α = 30°. Gesucht: Gegenkathete G. Gegeben: H = 8 cm. G und H → sin.

    sin 30° = G8 cm | · 8 cm
    G = 8 cm · sin 30°
    G = 8 cm · 0,5
    G = 4 cm
  2. Hypotenuse 12 cm, α = 60°. Berechne die Ankathete.
    Lösung zeigen

    Wir stehen bei α = 60°. Gesucht: Ankathete A. Gegeben: H = 12 cm. A und H → cos.

    cos 60° = A12 cm | · 12 cm
    A = 12 cm · cos 60°
    A = 12 cm · 0,5
    A = 6 cm
  3. Ankathete 5 m, α = 45°. Berechne die Gegenkathete.
    Lösung zeigen

    Wir stehen bei α = 45°. Gesucht: Gegenkathete G. Gegeben: A = 5 m. G und A → tan.

    tan 45° = G5 m | · 5 m
    G = 5 m · tan 45°
    G = 5 m · 1
    G = 5 m
  4. Gegenkathete 6 cm, Hypotenuse 10 cm. Berechne α.
    Lösung zeigen

    Wir stehen bei α. Gesucht: α. Gegeben: G = 6 cm, H = 10 cm. G und H → sin.

    sin α = 6 cm10 cm = 0,6 | sin⁻¹
    α ≈ 36,87°
  5. Eine 6 m lange Leiter lehnt an einer Wand und bildet mit dem Boden einen Winkel von 70°. Wie hoch reicht sie?
    Lösung zeigen

    Wir stehen beim Winkel 70° am Boden. Gesucht: Höhe an der Wand, das ist die Gegenkathete G. Gegeben: Leiter H = 6 m. G und H → sin.

    sin 70° = G6 m | · 6 m
    G = 6 m · sin 70°
    G ≈ 5,64 m
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Mit Tipps, Lösungsweg und drei Schwierigkeitsstufen, direkt im Thema „Seiten berechnen mit sin, cos und tan“.

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