Mathebaustein › Winkel und Dreiecke › Winkel an Parallelen

Winkel an Parallelen und Winkelsumme

Mit wenigen Regeln kannst du fehlende Winkel berechnen, ohne zu messen. Du brauchst nur einen bekannten Winkel und die richtige Regel.

Die Regeln

Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel.

• Nebenwinkel liegen nebeneinander und ergeben zusammen 180°.
• Scheitelwinkel liegen sich gegenüber und sind gleich groß.

Wird ein Paar paralleler Geraden von einer dritten Geraden geschnitten, gilt außerdem:

• Stufenwinkel (F-Winkel) sind gleich groß.
• Wechselwinkel (Z-Winkel) sind gleich groß.

Winkelsumme: Im Dreieck ergeben die drei Winkel zusammen 180°, im Viereck die vier Winkel zusammen 360°.

Warum 180° im Dreieck? Zeichnet man durch eine Ecke eine Parallele zur gegenüberliegenden Seite, findet man die beiden anderen Winkel dort als Wechselwinkel wieder. Alle drei liegen dann nebeneinander auf einer Geraden, und das sind 180°.

Beispiel 1. Zwei parallele Geraden werden geschnitten. Ein Winkel ist α = 65°.

Gesucht: sein Nebenwinkel β und sein Stufenwinkel an der anderen Parallele.

Der Stufenwinkel ist gleich groß wie α → 65°.

Beispiel 2. Im Dreieck ist α = 50° und β = 70°.

Gesucht: γ.

Winkelsumme in der App üben

Übungsaufgaben

1. Ein Winkel ist 38° groß. Wie groß ist sein Nebenwinkel?
   Lösung zeigen

   Gesucht: der Nebenwinkel. Nebenwinkel ergeben 180°.

   α + β = 180°

   38° + β = 180° | − 38°

   β = 142°
2. Zwei parallele Geraden werden von einer dritten geschnitten. Ein Winkel ist 72°. Wie groß sind sein Wechselwinkel und sein Nebenwinkel?
   Lösung zeigen

   Gesucht: Wechselwinkel und Nebenwinkel.

   Der Wechselwinkel ist gleich groß → 72°.

   Nebenwinkel = 180° − 72° = 108°
3. Im Dreieck ist α = 90° und β = 35°. Berechne γ.
   Lösung zeigen

   Gesucht: γ.

   90° + 35° + γ = 180°

   125° + γ = 180° | − 125°

   γ = 55°
4. In einem gleichschenkligen Dreieck ist der Winkel an der Spitze 40°. Wie groß sind die beiden Basiswinkel?
   Lösung zeigen

   Gesucht: die Basiswinkel β. Sie sind gleich groß.

   40° + β + β = 180°

   40° + 2β = 180° | − 40°

   2β = 140° | : 2

   β = 70°
5. Im Viereck ist α = 80°, β = 95° und γ = 110°. Berechne δ.
   Lösung zeigen

   Gesucht: δ.

   80° + 95° + 110° + δ = 360°

   285° + δ = 360° | − 285°

   δ = 75°

Typische Fehler

• Stufenwinkel ohne Parallelen. Die F- und Z-Regel gilt nur, wenn die beiden Geraden parallel sind.
• Nebenwinkel und Scheitelwinkel verwechselt. Nebenwinkel ergeben zusammen 180°, Scheitelwinkel sind gleich groß.
• Im Viereck mit 180° gerechnet. Im Viereck ist die Winkelsumme 360°.

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