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Binomische Formeln: Erklärung und Aufgaben

Die binomischen Formeln sind Abkürzungen für das Multiplizieren von Klammern. Wer sie kennt, rechnet schneller und kann sie später auch rückwärts nutzen, zum Beispiel beim Lösen quadratischer Gleichungen.

Die drei Formeln

1. Binomische Formel
(a + b)² = a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel
(a − b)² = a² − 2ab + b²
3. Binomische Formel
(a + b) · (a − b) = a² − b²

Warum? (a + b)² heißt (a + b) · (a + b). Multiplizierst du jedes Glied mit jedem, entsteht a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Beispiele

(x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x² + 6x + 9
(2x − 5)² = (2x)² − 2 · 2x · 5 + 5² = 4x² − 20x + 25
(x + 4) · (x − 4) = x² − 4² = x² − 16

Rückwärts: aus der Summe ein Produkt machen

x² + 10x + 25 → Erstes und letztes Glied sind Quadrate (x² und 5²), das mittlere ist 2 · x · 5.

x² + 10x + 25 = (x + 5)²

Übungsaufgaben

  1. Löse (x + 5)² auf.
    Lösung zeigen
    1. binomische Formel mit a = x, b = 5.
    (x + 5)² = x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25
  2. Löse (y − 3)² auf.
    Lösung zeigen
    2. binomische Formel mit a = y, b = 3.
    (y − 3)² = y² − 2 · y · 3 + 3² = y² − 6y + 9
  3. Löse (3m + 2)² auf.
    Lösung zeigen
    1. binomische Formel mit a = 3m, b = 2.
    (3m + 2)² = (3m)² + 2 · 3m · 2 + 2² = 9m² + 12m + 4
  4. Löse (x + 7) · (x − 7) auf.
    Lösung zeigen
    3. binomische Formel.
    (x + 7) · (x − 7) = x² − 7² = x² − 49
  5. Schreibe x² − 8x + 16 als Quadrat einer Klammer.
    Lösung zeigen

    x² = x², 16 = 4², 8x = 2 · x · 4, und das mittlere Glied ist negativ.

    x² − 8x + 16 = (x − 4)²
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Mit Tipps, Lösungsweg und drei Schwierigkeitsstufen, direkt im Thema „Binomische Formeln“.

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