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ggT und kgV berechnen
Der ggT ist der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen, das kgV ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches. Den ggT brauchst du zum Kürzen, das kgV für den Hauptnenner beim Addieren von Brüchen.
Für kleine Zahlen: mit Teilern und Vielfachen
Beispiel ggT. ggT(12, 18)
Gesucht: der größte Teiler, der in beiden Teilermengen vorkommt.
Beispiel kgV. kgV(4, 6)
Gesucht: die kleinste Zahl, die in beiden Vielfachenmengen vorkommt.
Für große Zahlen: mit der Primfaktorzerlegung
Zerlege beide Zahlen in Primfaktoren.
- ggT: jeden gemeinsamen Primfaktor so oft nehmen, wie er in beiden Zerlegungen mindestens vorkommt, und alles multiplizieren.
- kgV: jeden Primfaktor so oft nehmen, wie er höchstens in einer der Zerlegungen vorkommt, und alles multiplizieren.
Beispiel. ggT und kgV von 24 und 36
Gesucht: ggT(24, 36) und kgV(24, 36).
Die 2 kommt in beiden Zerlegungen mindestens zweimal vor, die 3 mindestens einmal.
Die 2 kommt höchstens dreimal vor, die 3 höchstens zweimal.
Übungsaufgaben
- Zerlege 84 in Primfaktoren.
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Gesucht: Primfaktoren von 84. Immer durch die kleinste Primzahl dividieren, die passt.
842 = 42422 = 21213 = 784 = 2 · 2 · 3 · 7 - Berechne ggT(18, 30).
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Gesucht: ggT(18, 30).
18 = 2 · 3 · 330 = 2 · 3 · 5ggT(18, 30) = 2 · 3 = 6 - Berechne kgV(8, 12).
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Gesucht: kgV(8, 12).
8 = 2 · 2 · 212 = 2 · 2 · 3kgV(8, 12) = 2 · 2 · 2 · 3 = 24 - Berechne ggT und kgV von 45 und 75.
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Gesucht: ggT(45, 75) und kgV(45, 75).
45 = 3 · 3 · 575 = 3 · 5 · 5ggT(45, 75) = 3 · 5 = 15kgV(45, 75) = 3 · 3 · 5 · 5 = 225 - Bus A fährt alle 12 Minuten ab, Bus B alle 18 Minuten. Um 8:00 Uhr fahren beide gleichzeitig. Wann fahren sie das nächste Mal gleichzeitig?
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Gesucht: die erste gemeinsame Abfahrt, also kgV(12, 18).
12 = 2 · 2 · 318 = 2 · 3 · 3kgV(12, 18) = 2 · 2 · 3 · 3 = 36Nach 36 Minuten fahren beide wieder gleichzeitig, also um 8:36 Uhr.
Mit Tipps, Lösungsweg und drei Schwierigkeitsstufen, direkt im Thema „ggT und kgV mit Primfaktoren“.
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Typische Fehler
- ggT und kgV verwechselt. Der ggT ist nie größer als die kleinere Zahl, das kgV nie kleiner als die größere. So kannst du dein Ergebnis prüfen.
- Mehrfache Primfaktoren übersehen. 24 ist 2 · 2 · 2 · 3, nicht 2 · 3 · 4. Die 4 ist keine Primzahl.
- Die 1 als Primzahl. 1 ist keine Primzahl, sie gehört nicht in die Zerlegung.