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Lineare Gleichungssysteme lösen

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen, meist x und y. Die Lösung ist ein Zahlenpaar (x | y), das beide Gleichungen erfüllt. Es gibt drei Verfahren, die alle zum selben Ergebnis führen.

Gleichsetzungsverfahren

Gut, wenn beide Gleichungen nach derselben Variable aufgelöst sind.

Beispiel. I: y = 2x − 1 und II: y = −x + 8

Gesucht: x und y.

Beide rechten Seiten gleichsetzen.

x in I einsetzen.

Lösung (3 | 5)

Einsetzungsverfahren

Gut, wenn eine Gleichung schon nach einer Variable aufgelöst ist.

Beispiel. I: y = 2x + 1 und II: 3x + y = 16

Gesucht: x und y.

I in II einsetzen, also y durch 2x + 1 ersetzen.

x in I einsetzen.

Lösung (3 | 7)

Additionsverfahren

Gut, wenn eine Variable in beiden Gleichungen dieselbe Zahl davor hat, einmal mit Plus und einmal mit Minus.

Beispiel. I: x + y = 10 und II: x − y = 4

Gesucht: x und y.

I und II addieren, dabei fällt y weg.

x in I einsetzen.

Lösung (7 | 3)

Übungsaufgaben

1. Ist (2 | 3) eine Lösung von I: x + y = 5 und II: 2x − y = 1?
   Lösung zeigen

   Gesucht: Erfüllt (2 | 3) beide Gleichungen? x = 2 und y = 3 einsetzen.

   I

   2 + 3 = 5 (stimmt)

   II

   2 · 2 − 3 = 1 (stimmt)

   Ja, (2 | 3) ist die Lösung.

2. Löse I: y = x + 2 und II: y = 3x − 4.
   Lösung zeigen

   Gesucht: x und y. Gleichsetzungsverfahren.

   x + 2 = 3x − 4 | − x

   2 = 2x − 4 | + 4

   6 = 2x | : 2

   x = 3

   y = 3 + 2 = 5

   Lösung (3 | 5)

3. Löse I: y = 4 − x und II: 2x + y = 7.
   Lösung zeigen

   Gesucht: x und y. Einsetzungsverfahren, I in II einsetzen.

   2x + (4 − x) = 7

   x + 4 = 7 | − 4

   x = 3

   y = 4 − 3 = 1

   Lösung (3 | 1)

4. Löse I: 2x + 3y = 12 und II: 2x − y = 4.
   Lösung zeigen

   Gesucht: x und y. Additionsverfahren, II von I subtrahieren, dabei fällt x weg.

   (2x + 3y) − (2x − y) = 12 − 4

   4y = 8 | : 4

   y = 2

   y in II einsetzen.

   2x − 2 = 4 | + 2

   2x = 6 | : 2

   x = 3

   Lösung (3 | 2)

   Probe in I

   2 · 3 + 3 · 2 = 12 (stimmt)
5. 2 Hefte und 3 Stifte kosten zusammen 7 €. 1 Heft und 3 Stifte kosten 5 €. Was kostet ein Heft, was ein Stift?
   Lösung zeigen

   Gesucht: Preis eines Hefts h und eines Stifts s.

   I: 2h + 3s = 7 €

   II: h + 3s = 5 €

   II von I subtrahieren, dabei fällt s weg.

   (2h + 3s) − (h + 3s) = 7 € − 5 €

   h = 2 €

   h in II einsetzen.

   2 € + 3s = 5 € | − 2 €

   3s = 3 € | : 3

   s = 1 €

   Ein Heft kostet 2 €, ein Stift 1 €.

   Probe in I

   2 · 2 € + 3 · 1 € = 7 € (stimmt)

Typische Fehler

• Nur x ausgerechnet. Die Lösung ist immer ein Paar. Nach x musst du auch y berechnen.
• Vorzeichen beim Subtrahieren der Gleichungen. (2x + 3y) − (2x − y) ergibt 4y, nicht 2y. Das Minus vor der Klammer dreht das Vorzeichen von − y um.
• Keine Probe. Setze dein Paar in beide Gleichungen ein. Stimmt eine nicht, steckt irgendwo ein Rechenfehler.

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