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Mittelwert, Median und Boxplot

Mittelwert und Median beschreiben mit einer einzigen Zahl, wo die Mitte einer Datenreihe liegt. Der Boxplot zeigt zusätzlich, wie weit die Daten verteilt sind.

Die Regeln

Mittelwert (Durchschnitt)

Median (Zentralwert)

1. Die Werte der Größe nach ordnen.

2. Bei ungerader Anzahl ist der Median der Wert in der Mitte.

3. Bei gerader Anzahl ist der Median der Mittelwert der beiden mittleren Werte.

Spannweite = Maximum − Minimum

Boxplot braucht fünf Zahlen → Minimum, unteres Quartil q₁, Median, oberes Quartil q₃, Maximum. Der Median teilt die geordneten Daten in eine untere und eine obere Hälfte. q₁ ist der Median der unteren Hälfte, q₃ der Median der oberen Hälfte. Bei ungerader Anzahl gehört der Median zu keiner Hälfte.

Warum zwei Mittelwerte? Ein einzelner Ausreißer zieht den Mittelwert stark mit, den Median kaum. Taschengeld von fünf Kindern → 5 €, 5 €, 6 €, 6 €, 30 €. Der Mittelwert ist 52 €5 = 10,40 €, der Median 6 €. Der Median beschreibt die typische Höhe hier besser.

Beispiel 1. Noten 2, 3, 1, 4, 2

Gesucht: Mittelwert und Median.

Geordnet → 1, 2, 2, 3, 4. Der mittlere Wert ist der dritte.

Beispiel 2. Daten 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14 (schon geordnet)

Gesucht: die fünf Zahlen für den Boxplot.

Untere Hälfte → 3, 5, 6, also q₁ = 5

Obere Hälfte → 9, 11, 14, also q₃ = 11

Übungsaufgaben

1. Berechne den Mittelwert von 4, 7, 9 und 12.
   Lösung zeigen

   Gesucht: Mittelwert.

   Mittelwert = 4 + 7 + 9 + 124 = 324 = 8
2. Bestimme den Median von 5, 1, 9, 3, 7.
   Lösung zeigen

   Gesucht: Median. Erst ordnen → 1, 3, 5, 7, 9.

   Median = 5
3. Bestimme den Median von 2, 8, 4, 10.
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   Gesucht: Median. Erst ordnen → 2, 4, 8, 10. Gerade Anzahl, also die beiden mittleren Werte.

   Median = 4 + 82 = 122 = 6
4. Bestimme die Spannweite von 12, 5, 19, 8.
   Lösung zeigen

   Gesucht: Spannweite.

   Spannweite = 19 − 5 = 14
5. Bestimme die fünf Kennwerte für den Boxplot von 2, 4, 5, 7, 8, 10, 13, 15.
   Lösung zeigen

   Gesucht: Minimum, q₁, Median, q₃, Maximum. Die Daten sind schon geordnet, es sind 8 Werte.

   Minimum = 2 und Maximum = 15

   Median = 7 + 82 = 7,5

   Untere Hälfte → 2, 4, 5, 7

   q₁ = 4 + 52 = 4,5

   Obere Hälfte → 8, 10, 13, 15

   q₃ = 10 + 132 = 11,5

Typische Fehler

• Median ohne Ordnen.
  Falsch bei 5, 1, 9, 3, 7 die 9 nehmen.
  Richtig erst ordnen, dann ist der Median 5.
• Durch die falsche Anzahl dividiert. Beim Mittelwert durch die Anzahl der Werte dividieren, nicht durch den größten Wert.
• Spannweite und Quartilsabstand verwechselt. Spannweite = Maximum − Minimum, Quartilsabstand = q₃ − q₁.

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