Mathebaustein › Parabeln › Scheitelpunktform
Scheitelpunktform: Scheitel ablesen und umformen
In der Scheitelpunktform kannst du den Scheitelpunkt einer Parabel direkt ablesen. Liegt die Funktion in Normalform vor, bringst du sie mit der quadratischen Ergänzung in die Scheitelpunktform.
Die Scheitelpunktform
Scheitelpunkt S(d | e)
- d verschiebt die Parabel nach links oder rechts. Achtung, in der Klammer steht ein Minus: Bei (x − 3)² ist d = 3, bei (x + 3)² ist d = −3.
- e verschiebt die Parabel nach oben oder unten.
- a streckt oder staucht. Ist a negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet.
Beispiel. f(x) = 2(x − 3)² + 1
Gesucht: Scheitelpunkt und Form.
S(3 | 1). a = 2 ist positiv und größer als 1, die Parabel ist nach oben geöffnet und gestreckt.
Normalform → Scheitelpunktform (quadratische Ergänzung)
Die Normalform ist f(x) = x² + px + q. Du ergänzt die Hälfte von p zum Quadrat und ziehst sie gleich wieder ab.
Beispiel. f(x) = x² + 6x + 5
Gesucht: Scheitelpunktform und Scheitel.
Die Hälfte von p = 6 ist 62 = 3, und 3² = 9. Ergänze + 9 und ziehe gleich wieder 9 ab.
Übungsaufgaben
- Lies den Scheitelpunkt von f(x) = (x − 2)² + 5 ab.
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Gesucht: Scheitelpunkt. d = 2, e = 5
S(2 | 5) - Lies den Scheitelpunkt von f(x) = (x + 4)² − 1 ab.
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Gesucht: Scheitelpunkt. (x + 4)² = (x − (−4))², also d = −4. Dazu e = −1.
S(−4 | −1) - Bringe f(x) = x² − 4x + 7 in die Scheitelpunktform.
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Gesucht: Scheitelpunktform. Die Hälfte von p = −4 ist −42 = −2, und (−2)² = 4.
f(x) = (x² − 4x + 4) − 4 + 7f(x) = (x − 2)² + 3S(2 | 3) - Bringe f(x) = x² + 2x − 3 in die Scheitelpunktform.
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Gesucht: Scheitelpunktform. Die Hälfte von p = 2 ist 22 = 1, und 1² = 1.
f(x) = (x² + 2x + 1) − 1 − 3f(x) = (x + 1)² − 4S(−1 | −4) - Eine nach unten geöffnete Normalparabel (a = −1) hat den Scheitel S(1 | 4). Gib ihre Gleichung an.
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Gesucht: Funktionsgleichung. a = −1, d = 1, e = 4 einsetzen in f(x) = a(x − d)² + e.
f(x) = −(x − 1)² + 4
Mit Tipps, Lösungsweg und drei Schwierigkeitsstufen, direkt im Thema „Normalform → Scheitelpunktform“.
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Typische Fehler
- Vorzeichen von d. Falsch f(x) = (x + 3)² − 4 hat S(3 | −4)Richtig S(−3 | −4)
- Ergänzt, aber nicht wieder abgezogen. Falsch x² + 6x + 5 = (x + 3)² + 5 Die zugefügte 9 muss wieder abgezogen werden.
- Nicht die Hälfte genommen. Bei x² + 6x ergänzt man 3² = 9, nicht 6² = 36.