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Volumen von Zylinder, Kegel und Kugel
Für alle drei Körper brauchst du den Radius r. Ist der Durchmesser d gegeben, halbierst du ihn zuerst. Die drei Formeln hängen zusammen, darum lernst du sie am besten zusammen.
Die Formeln
- Zylinder: Grundfläche π · r² multipliziert mit der Höhe, wie bei jedem Prisma.
- Kegel: Ein Zylinder fasst genau dreimal so viel wie ein Kegel mit gleicher Grundfläche und Höhe, darum 13.
- Kugel: Hier gibt es keine Höhe. Der Radius steht hoch drei, weil ein Volumen drei Längen hat.
Beispiel 1. Ein Zylinder hat r = 3 cm und h = 10 cm.
Gesucht: Volumen V.
Beispiel 2. Eine Kugel hat r = 6 cm.
Gesucht: Volumen V.
Übungsaufgaben
- Berechne das Volumen eines Zylinders mit r = 5 cm und h = 8 cm.
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Gesucht: Volumen V des Zylinders.
V = π · (5 cm)² · 8 cmV = π · 25 cm² · 8 cmV = 200π cm³ ≈ 628,32 cm³ - Berechne das Volumen eines Kegels mit r = 3 cm und h = 4 cm.
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Gesucht: Volumen V des Kegels.
V = 13 · π · (3 cm)² · 4 cmV = 13 · π · 9 cm² · 4 cmV = 12π cm³ ≈ 37,70 cm³ - Berechne das Volumen einer Kugel mit r = 3 cm.
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Gesucht: Volumen V der Kugel.
V = 43 · π · (3 cm)³V = 43 · π · 27 cm³V = 36π cm³ ≈ 113,10 cm³ - Eine Dose hat den Durchmesser d = 8 cm und die Höhe h = 12 cm. Wie viel passt hinein?
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Gesucht: Volumen V der Dose. Erst den Radius
r = 8 cm2 = 4 cmV = π · (4 cm)² · 12 cmV = π · 16 cm² · 12 cmV = 192π cm³ ≈ 603,19 cm³603,19 cm³ = 603,19 ml ≈ 0,60 l - Ein Zylinder hat V = 500 cm³ und r = 5 cm. Berechne die Höhe h.
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Gesucht: Höhe h.
V = π · r² · h500 cm³ = π · (5 cm)² · h500 cm³ = 25π cm² · h | : (25π cm²)h = 500 cm³25π cm²h = 20π cm ≈ 6,37 cm
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Typische Fehler
- Durchmesser statt Radius eingesetzt. Bei d = 8 cm ist r = 4 cm. Beim Zylinder wird das Volumen mit 8 cm viermal so groß.
- 13 beim Kegel vergessen. Dann hast du das Volumen des Zylinders ausgerechnet.
- r² statt r³ bei der Kugel. Das Volumen hat die Einheit cm³, also braucht die Formel drei Längen → r³.